Mit Resten einen passenden Faktor finden

Eine andere Art von Umkehrung

Bei der gewöhnlichen Division ist die Umkehrung zu sieben der Bruch ein Siebtel: Sieben mal ein Siebtel ergibt genau eins. Unsere neue Frage sucht dagegen eine ganze Zahl. Ihr Produkt mit sieben darf größer sein, soll aber beim Teilen durch sechsundzwanzig den Rest eins lassen.

Fünfzehn erfüllt diese Bedingung: 7 × 15 = 105, und 105 = 4 × 26 + 1. In der Sprache der Restrechnung ist fünfzehn eine modulare Inverse von sieben bezüglich sechsundzwanzig. Der Name klingt ungewohnt; die Schlussprobe besteht aus einer einfachen Multiplikation und einem Rest.

Qin beschreibt einen Weg zur Eins

Qin Jiushaos Werk von 1247 beschreibt ein Verfahren zum Finden eines solchen Faktors. Wu und Xu analysieren es mit vier Werten in zwei Zeilen und zwei Spalten. Ihre Interpretation verwendet bei der Division den kleinsten positiven Rest, sodass rechts oben am Ende eine Eins steht. Historische Beschreibung und moderne Interpretation, Abschnitte 1–2.1

Wir verfolgen diese Deutung an unserem frei gewählten Zahlenpaar. Die rechte Spalte enthält die sich verkleinernden Zahlen. Links werden Begleitwerte mitgeführt. Schreibe zu Beginn oben das Paar (1, 7), darunter (0, 26). In jedem Paar steht zuerst der linke, dann der rechte Wert.

Die ersten beiden Schritte

Zuerst zerlegen wir 26 = 3 × 7 + 5. Rechts unten bleibt fünf. Links unten kommt das Dreifache des oberen linken Werts hinzu: 0 + 3 × 1 = 3. Die beiden Zeilen lauten jetzt oben (1, 7), unten (3, 5).

Dann zerlegen wir 7 = 1 × 5 + 2. Rechts oben bleibt zwei. Links oben wird 1 + 1 × 3 = 4. Nun stehen oben (4, 2) und unten (3, 5). Bei jedem Schritt wird also rechts ein Vielfaches entfernt und links mit demselben Faktor der passende Begleitwert addiert.

Warum wir nicht bei Null enden

Als Nächstes gilt 5 = 2 × 2 + 1. Damit wird die untere Zeile zu (11, 1), denn 3 + 2 × 4 = 11. Oben steht weiterhin (4, 2). Eine Eins ist schon vorhanden, aber noch nicht rechts oben, wo diese Verfahrensfassung sie als Endbedingung verlangt.

Im letzten Schritt verwenden wir deshalb 2 = 1 × 1 + 1. Es bleibt ausdrücklich der positive Rest eins. Oben entsteht (15, 1), unten bleibt (11, 1). Würden wir stattdessen 2 = 2 × 1 + 0 einsetzen, wäre diese Endbedingung verfehlt. Genau die Wahl des positiven Rests ist ein wichtiger Punkt der gelesenen Forschungsinterpretation. Warum die Deutung des Restes wichtig ist

Alle vier Werte im Blick

Die Tabelle hält jeden Zwischenstand unseres Beispiels fest. In jedem Paar steht zuerst der linke, danach der rechte Wert. Lies eine Zeile als die vollständige Anordnung nach dem genannten Schritt.

Die Tabelle verwendet unsere heutige Schreibweise. Sie bildet keine überlieferte historische Rechenfläche ab.

Der Faktor wird durch die Probe bestätigt

Der obere linke Wert ist nun fünfzehn. Die bereits vorgeführte Schlussprobe bestätigt: Sein Produkt mit sieben ist um genau eins größer als ein ganzes Vielfaches von sechsundzwanzig. Du musst die vier Felder also nicht allein aufgrund ihrer ordentlichen Anordnung glauben.

Die Probe erklärt auch die Voraussetzung. Wären die Ausgangszahlen sechs und vierundzwanzig, wäre jedes ganzzahlige Vielfache von sechs durch sechs teilbar. Ein Vielfaches von vierundzwanzig plus eins ist es nicht. Für dieses Paar kann kein gesuchter Faktor existieren. Die hier behandelte Verfahrensfassung setzt deshalb teilerfremde positive Ausgangszahlen voraus.

Der Weg behält mehr als den letzten Rest

Beim gemeinsamen Maß genügten zuletzt die verkleinerten Restzahlen. Hier werden zusätzliche Werte benötigt, damit aus dem Rest eins auch ein passender Faktor der ursprünglichen Sieben zurückgewonnen werden kann. Die mitgeführten Informationen gehören zur Lösung.

Das Ergebnis ist nicht auf den einzigen Wert fünfzehn beschränkt. Auch 41 erfüllt die Resteigenschaft, denn es ist fünfzehn plus sechsundzwanzig. Das Verfahren liefert in unserem Beispiel den positiven Vertreter fünfzehn. Es löst eine genau bestimmte Restaufgabe und behauptet nicht, dass fünfzehn im gewöhnlichen Bruchrechnen gleich ein Siebtel wäre.

Begriffe verstehen

Quellen und Nachweise

Die Quellen sind den Aussagen im Text zugeordnet. Originalstudien, Sammlungstexte und eigene Einordnung erfüllen unterschiedliche Aufgaben. Einige Fachtexte sind beim Verlag nur teilweise frei zugänglich.

1. Qins Verfahren und die modulare Inverse

   Han Wu und Guangwu Xu: Qin’s Algorithm, Continued Fractions and 2-dimensional Lattices. arXiv:2310.09103v2, 7. November 2023.

   Forschungsinterpretation des Verfahrens aus Qin Jiushaos Werk von 1247. Die Deutung mit kleinstem positivem Rest bleibt als Deutung benannt. Das Museumsbeispiel mit sieben und sechsundzwanzig ist selbst gewählt und separat geprüft.

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Redaktion: Benjamin Metzig. Erste vollständige Fassung vom 6. September 2026. Generative KI diente als Werkzeug für Text und Bild.