Eine unbekannte Seite durch Ergänzen finden

Eine Fläche verrät noch keine Seite

Gesucht ist die Seitenlänge eines Quadrats. Zu seiner Fläche kommt das Zehnfache dieser Länge hinzu; zusammen ergibt das 39. In heutiger Schreibweise lautet die Bedingung x² + 10x = 39. Das x steht dabei für die gesuchte Zahl. Längen und Flächen werden in zueinander passenden gewählten Einheiten gemessen.

Durch Ausprobieren könntest du eine Lösung finden. Die interessante Frage lautet aber, wie sich ein Verfahren begründen lässt, das gezielt zur passenden Zahl führt. Dazu verändern wir die Anordnung so, dass eine bereits verständliche Form entsteht.

Ein historischer Text erklärt in Worten

Al-Khwārizmīs Algebra entstand im frühen 9. Jahrhundert im Umfeld des abbasidischen Bagdad. Seine Darstellung arbeitet in Worten und unterscheidet Gleichungsfälle mit positiven Größen. Zeitlicher Rahmen und historische Darstellungsweise

Die von uns gelesene Übersetzung erklärt den Fall mit 39 auch geometrisch. Dabei werden zwei Rechtecke an benachbarte Seiten des ursprünglichen Quadrats gelegt. Beide haben eine Seite von fünf und eine Seite, die der gesuchten Quadratseite entspricht. Die zweite geometrische Erklärung auf S. 15

Zwei Rechtecke teilen den Zusatz

Warum gerade zwei Stücke mit der Breite fünf? Jedes Rechteck besitzt die Fläche 5x. Zusammen ergeben sie 10x, also genau den Zusatz aus der Aufgabe. Die bisherige Gesamtfläche bleibt 39. Wir haben sie zunächst nur auf passende Teilflächen verteilt.

Lege gedanklich das eine Rechteck rechts neben das Quadrat, das andere darüber. Die äußere Breite und Höhe betragen nun jeweils x + 5. In der gemeinsamen oberen rechten Ecke fehlt allerdings noch ein Stück. Seine beiden Seiten sind fünf lang, unabhängig davon, welchen Wert x besitzt.

Die fehlende Ecke ist bereits bekannt

Das fehlende Stück hat die Fläche 5 × 5, also 25. Fügen wir es hinzu, entsteht ein vollständiges Quadrat mit der Fläche 39 + 25 = 64. Seine positive Seitenlänge ist acht. Ziehen wir die hinzugefügte Breite fünf ab, bleibt für die ursprüngliche Seite drei. Abschluss der Ergänzung auf S. 16

Die Zahl 25 ist damit kein zufälliger Rechentrick. Sie folgt aus der Form der noch offenen Ecke. Das Ergänzen verändert die Fläche, und die Rechnung verändert sie um genau denselben Betrag. Gerade dieses Mitführen der Veränderung hält die Erklärung nachvollziehbar.

Die vier Flächen für die Lösung drei

Die Grafik setzt die bereits berechnete Seitenlänge drei ein. Ihre Breiten und Höhen stehen im Verhältnis drei zu fünf. Die beiden Rechtecke besitzen jeweils die Fläche fünfzehn; das kleine Quadrat neun. Die ergänzte Fläche ist fünfundzwanzig groß. Zusammen sind das vierundsechzig.

Die Grafik prüft die gefundene Lösung. Solange x noch unbekannt ist, lautet die Seitenlänge des kleinen Quadrats weiterhin x und die Fläche jedes Rechtecks 5x. Aus einer geschätzten Bildgröße allein lässt sich die gesuchte Zahl nicht begründen.

Die Probe geht zum Anfang zurück

Setze drei in die ursprüngliche Bedingung ein: Das Quadrat hat die Fläche neun. Das Zehnfache der Seite ist dreißig. Neun und dreißig ergeben zusammen neununddreißig. Das gefundene Ergebnis erfüllt also die Ausgangsfrage.

Unsere heutige Kurzform der Begründung lautet (x + 5)² = x² + 10x + 25. Links steht die Fläche des großen Quadrats, rechts stehen seine vier Teilflächen zusammengefasst. Die Formel kürzt denselben Zusammenhang ab; sie macht die vorher erläuterte Anordnung nicht überflüssig.

Eine Länge ist nicht jede Zahl

In einer heutigen Gleichung über den reellen Zahlen erfüllt auch −13 die Bedingung: 169 − 130 = 39. Diese zusätzliche Lösung ist jedoch keine positive Seitenlänge unseres Flächenmodells. Sie darf dem historischen Text nicht nachträglich als dessen Ergebnis zugeschrieben werden.

Der Unterschied zeigt, weshalb du vor einer Rechnung den Gegenstand klären solltest. Geht es um die Seitenlänge eines Quadrats, um einen Saldo oder um eine abstrakte Zahlengleichung? Dieselben heute verwendeten Zeichen können je nach Aufgabe einen anderen erlaubten Wertebereich haben.

Eine Anordnung macht den Schritt verständlich

Die Station verbindet Rechnen und Begründen. Aus der bekannten Gesamtfläche allein war die Seite nicht unmittelbar abzulesen. Durch eine begründete Ergänzung entstand ein Quadrat, dessen Fläche und Seite zusammenpassen.

Beim Weitergehen kannst du nach genau solchen Verbindungen suchen: Welcher Schritt verändert die Darstellung, was bleibt dabei erhalten, und wie wird das Ergebnis kontrolliert? Diese Fragen helfen auch dort, wo kein Holzstück und keine Zeichnung mehr vor dir liegen.

Begriffe verstehen

Quellen und Nachweise

Die Quellen sind den Aussagen im Text zugeordnet. Originalstudien, Sammlungstexte und eigene Einordnung erfüllen unterschiedliche Aufgaben. Einige Fachtexte sind beim Verlag nur teilweise frei zugänglich.

1. Zwei Rechtecke ergänzen ein Quadrat

   Al-Khwārizmī, englische Übersetzung Frederic Rosen: The Algebra of Mohammed ben Musa. London 1831, S. 15.

   Die Zahl zehn wird auf zwei Rechtecke mit jeweils der Breite fünf verteilt. Moderne Buchstaben, Gleichheitszeichen und ein heutiges Anschauungsmodell sind keine Wiedergabe der arabischen Handschrift.

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2. Die fehlende Ecke und die gesuchte Seite

   Al-Khwārizmī, englische Übersetzung Frederic Rosen: The Algebra of Mohammed ben Musa. London 1831, S. 16.

   Fortsetzung derselben Quelle wie REC03, keine unabhängige zweite Bestätigung. Der anschließend begonnene andere Gleichungsfall gehört nicht zum gewählten Beispiel.

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3. Der historische Rahmen von al-Khwārizmīs Algebra

   G. J. Toomer: Al-Khwārizmī. Dictionary of Scientific Biography; hier bereitgestellte PDF-Fassung mit Copyright-Vermerk 2008.

   Algebra unter al-Maʾmūn, Darstellung in Worten und positive Größen in getrennten Gleichungsfällen. Die Kritik an Rosens Edition wird als Zugangsgrenze festgehalten; biografische Spekulationen und pauschale Werturteile werden nicht übernommen.

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Redaktion: Benjamin Metzig. Erste vollständige Fassung vom 6. September 2026. Generative KI diente als Werkzeug für Text und Bild.