Warum 23 Menschen reichen: Das Geburtstagsparadox erklärt

In einem Büro arbeiten 23 Menschen. Würdest du darauf wetten, dass mindestens zwei von ihnen am selben Kalendertag Geburtstag haben? Viele lehnen ab. Schließlich gibt es 365 mögliche Tage und nur 23 Personen. Die Gruppe wirkt viel zu klein für einen Treffer.

Mathematisch ist die Wette trotzdem leicht im Vorteil: Unter den üblichen Modellannahmen liegt die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen gemeinsamen Geburtstag bei rund 50,7 Prozent. Bei 30 Menschen sind es schon 70,6 Prozent, bei 50 rund 97 Prozent.

Das Erstaunliche steckt nicht in den Geburtstagen. Es steckt darin, was wir zählen.

Kernpunkte

• Bei 23 zufällig ausgewählten Menschen beträgt die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen geteilten Geburtstag rund 50,7 Prozent.
• Die Rechnung wird einfach, wenn man zuerst das Gegenereignis bestimmt: Alle Geburtstage sind verschieden.
• 23 Menschen erzeugen nicht nur 23 Beobachtungen, sondern 253 mögliche Paare. Diese Paarzahl wächst quadratisch.
• Die Frage „Hat jemand meinen Geburtstag?“ ist eine andere: Dafür braucht man 253 andere Menschen, um über 50 Prozent zu kommen.
• Reale Geburtstage sind nicht exakt gleichverteilt. Für gewöhnliche Gruppen bleibt die klassische Antwort dennoch eine gute Näherung.
• Dieselbe Quadratwurzel-Logik erklärt, warum Kollisionen bei Hashwerten viel früher auftreten können, als die Zahl möglicher Ausgaben vermuten lässt.

Die falsche Frage im Kopf

Die meisten Menschen vergleichen unbewusst alle anderen mit sich selbst. Bei 22 weiteren Personen hat jede einzelne nur eine Chance von ungefähr 1 zu 365, genau den eigenen Geburtstag zu treffen. Das klingt tatsächlich klein.

Doch das Geburtstagsparadox fragt nicht, ob jemand meinen Geburtstag teilt. Es fragt, ob irgendein Paar in der Gruppe denselben Tag erwischt. Person A kann mit B übereinstimmen, A mit C, B mit C und so weiter. Jede neue Person wird nicht nur mit einer festen Person verglichen, sondern mit allen, die schon da sind.

Diese Verschiebung ähnelt dem Monty-Hall-Paradox: Nicht die Arithmetik ist exotisch, sondern unsere spontane Vorstellung vom richtigen Vergleichsraum ist unzuverlässig. Wer das Ereignis falsch beschreibt, kann korrekt rechnen und trotzdem die falsche Frage beantworten.

Der Umweg über das Gegenereignis

Direkt zu zählen, auf wie viele Arten mindestens ein gemeinsamer Geburtstag entstehen kann, wird schnell unübersichtlich. Es könnte genau ein Paar geben, mehrere Paare, drei Personen mit demselben Datum oder verschiedene doppelte Geburtstage. Diese Fälle überlappen.

Ein sauberer Umweg macht die Rechnung leichter: Wie wahrscheinlich ist es, dass alle Geburtstage verschieden sind?

Für die erste Person ist jeder Tag erlaubt. Die Wahrscheinlichkeit bleibt 365/365, also 1. Die zweite Person muss einen der 364 übrigen Tage treffen. Die dritte hat noch 363 freie Tage, wenn es weiterhin keine Übereinstimmung geben soll. So geht es weiter:

`P(alle verschieden) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365`

Bei 23 Menschen endet das Produkt mit 343/365. Es ergibt ungefähr 0,4927. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer ist das Komplement dazu:

`P(mindestens ein gemeinsamer Geburtstag) = 1 – 0,4927 = 0,5073`

Die ausführliche Herleitung findet sich sowohl in einer Harvard-Lösung zum Geburtstagsproblem als auch im frei zugänglichen Kapitel von Steven J. Millers The Probability Lifesaver. Beide zeigen, warum das Gegenereignis Doppelzählungen vermeidet.

Aus 23 Menschen werden 253 Paare

Der Aha-Moment lässt sich ohne lange Produktrechnung sehen. Unter 23 Menschen gibt es

`23 × 22 / 2 = 253`

verschiedene Zweierpaare. Durch zwei wird geteilt, weil das Paar Anna–Ben dasselbe ist wie Ben–Anna.

253 ist auffällig nah an `365 × ln(2)`, also ungefähr 253. Daraus entsteht die 50-Prozent-Schwelle. Vereinfacht gilt für einen Raum mit N gleich wahrscheinlichen Möglichkeiten:

`Schwelle ≈ √(2 × N × ln 2)`

Für N = 365 ergibt die Näherung etwa 22,5. Da es keine halben Menschen gibt, landet man bei 23. Eine peer-reviewte Darstellung in der Mathematical Gazette formuliert die Annahmen ausdrücklich: unabhängige, gleichverteilte Geburtstage, kein 29. Februar und eine zufällig zusammengesetzte Gruppe.

Wichtig ist eine Feinheit: Die 253 Paarereignisse sind nicht vollständig unabhängig. Wenn Anna und Ben verschiedene Geburtstage haben und Ben und Cem ebenfalls, verändert dieses Wissen den möglichen Vergleich zwischen Anna und Cem ein wenig. Die Paarzahl erklärt also, warum die Schwelle so früh kommt. Für das exakte Ergebnis bleibt die Komplementrechnung maßgeblich.

Warum die persönliche Geburtstagsfrage 253 andere Menschen braucht

Nun zurück zu der Frage, die viele zuerst im Kopf hatten: Wie viele andere Menschen muss ich treffen, damit mit mehr als 50 Prozent Wahrscheinlichkeit jemand meinen feststehenden Geburtstag teilt?

Hier gibt es pro Person genau einen Vergleich mit meinem Datum. Die Wahrscheinlichkeit, dass niemand meinen Geburtstag hat, beträgt bei n anderen Menschen `(364/365)^n`. Erst bei 253 anderen Menschen fällt dieser Wert unter 50 Prozent.

Das ist kein Widerspruch. In der klassischen Gruppe wächst die Zahl der möglichen Paare ungefähr mit dem Quadrat der Gruppengröße. Bei der persönlichen Frage wächst die Zahl der Vergleiche nur linear: eine neue Person, ein neuer Vergleich.

Das Beispiel zeigt, warum Wahrscheinlichkeiten ohne präzise Ereignisbeschreibung leicht täuschen. Auch unser Beitrag über Risikomaße und ihre blinden Flecken folgt dieser Grundidee: Eine Zahl ist nicht einfach „das Risiko“. Sie beantwortet eine bestimmte Frage über Unsicherheit.

Das Modell ist nützlich, aber die Welt ist nicht gleichverteilt

Menschen werden nicht an allen Tagen exakt gleich häufig geboren. Saisonale Muster, Wochentage, Feiertage und geplante medizinische Eingriffe verschieben Geburten. Die amtliche Datenbank CDC WONDER stellt Geburtsurkunden-basierte US-Daten bereit, mit denen solche zeitlichen Muster untersucht werden können.

Eine Fachanalyse von Thomas S. Nunnikhoven entwickelte bereits 1992 eine Lösung für nicht gleichverteilte Geburtshäufigkeiten. Für die damals untersuchten US-Daten war der Unterschied zur klassischen Rechnung klein. Ungleichverteilung macht bestimmte Tage dichter besetzt und kann Kollisionen grundsätzlich etwas wahrscheinlicher machen.

Stärker können Abhängigkeiten wirken. Zwillinge sind der offensichtliche Fall. Auch eine Familienfeier, eine Auswahl nach Altersjahrgang oder eine Gruppe, deren Zusammensetzung mit Geburtstagen zusammenhängt, ist keine zufällige Stichprobe. Das Paradox behauptet deshalb nicht, jede reale 23er-Gruppe habe exakt dieselbe Trefferchance. Es beschreibt ein klar definiertes Modell – und dieses Modell ist gerade deshalb lehrreich, weil seine Annahmen sichtbar sind.

Vom Kalender zur digitalen Kollision

Das Muster reicht weit über Geburtstage hinaus. Überall dort, wo viele Objekte auf eine begrenzte Zahl möglicher Kennungen verteilt werden, können Kollisionen früher auftauchen als erwartet: zufällige Codes, Speicherplätze, Fingerabdrücke von Dateien oder kryptografische Hashwerte.

Eine Hashfunktion bildet Eingaben unterschiedlicher Länge auf Ausgaben fester Länge ab. Zwei verschiedene Eingaben können daher prinzipiell denselben Hashwert besitzen. Für gute kryptografische Verfahren soll es praktisch unmöglich sein, eine solche Kollision gezielt zu finden.

Die Geburtstagslogik setzt dabei eine wichtige Größenordnung. Hat ein idealisierter Hash L Ausgabebits, existieren `2^L` mögliche Werte. Eine generische Kollisionssuche braucht aber nicht erst ungefähr `2^L` Versuche, sondern erreicht die relevante Größenordnung bereits bei `2^(L/2)`. Das NIST führt für SHA-256 deshalb eine erwartete Kollisionsfestigkeit von 128 Bit auf.

Das bedeutet nicht, dass Geburtstagsfeiern Passwörter knacken. Es bedeutet, dass Sicherheit zwischen zwei Fragen unterscheiden muss: Einen Eingang zu einem vorgegebenen Hash finden ist etwas anderes, als irgendein Paar verschiedener Eingaben mit demselben Hash zu finden. Wieder entscheidet die Ereignisbeschreibung.

Wer tiefer in endliche Zahlenräume und Kryptografie einsteigen möchte, findet im Beitrag über modulare Arithmetik den passenden Anschluss.

Das eigentliche Paradox ist unsere Zählintuition

Beim Geburtstagsparadox geschieht nichts Widersprüchliches. 23 ist nicht heimlich fast 365, und Zufall hat keine Vorliebe für Geburtstagsfeiern. Überraschend ist nur, wie rasch Beziehungen innerhalb einer Gruppe wachsen.

Mit jeder neuen Person kommt nicht ein Vergleich hinzu, sondern so viele, wie bereits Menschen im Raum sind. Aus einer überschaubaren Gruppe entsteht ein dichtes Netz möglicher Paare. Sobald wir dieses Netz sehen, verliert die Zahl 50,7 Prozent ihren Zauber – und gewinnt etwas Besseres: eine klare Erklärung.

Das Geburtstagsparadox lehrt deshalb mehr als eine Partyschätzung. Es erinnert daran, vor jeder Wahrscheinlichkeitsrechnung zuerst zu fragen: Welches Ereignis zähle ich, und wie viele Möglichkeiten können miteinander kollidieren?